Brain Training #3: le torte di compleanno

Carissimi All Stars ecco l'ultimo Brain Training prima delle meritate vacanze agostane. Per darvi materiale su cui riflettere ho scelto un problema a livelli differenziati: il quesito A è infatti di livello facile, il quesito B è leggermente più complesso (livello medio), mentre il quesito C, decisamente più "astratto", sfiora il livello diabolico.

Il problema può essere affrontato da più punti di vista e con metodi diversi: algebra, geometria, approssimazioni successive, semplice intuizione.

Le torte di compleanno: penso dunque mangio!!

E' il giorno del suo compleanno e allora Luca decide di festeggiare in palestra con gli amici portando cibarie e bevande per tutti. In particolare, conoscendo bene i suoi polli, porta due splendide torte al cioccolato solo per Laura e Davide.

I due golosastri si stanno per avventare sulle torte quando Luca, con una strana luce negli occhi, li ferma dicendo:

"Eh no cari ragazzi, troppo facile!! Dovete meritarvi la vostra dose di cacao e zucchero!! Per mangiare le torte dovete rispettare queste condizioni:

1. Davide deve tagliare la prima torta in 2 parti, nelle proporzioni che preferisce.
2. Laura dovrà scegliere quali delle 2 fette mangiare, a Davide toccherà l'altra.
3. Davide taglierà quindi la seconda torta in 2 parti, sempre nelle proporzioni da lui preferite.
4. Se Laura avrà scelto la prima volta la fetta più grande, dovrà mangiare la fetta più piccola della seconda torta, e viceversa.

Avanti Davide comincia a tagliare!!"

Davide pensa intensamente per alcuni minuti, osservando famelicamente le attraenti torte, e alla fine decide la sua strategia di taglio che gli consente di mangiare più torta di Laura.

QUESITO A: La strategia di Davide ha avuto successo!! Come taglia le 2 torte Davide? Quanta torta riesce a mangiare?

Dopo qualche mese, per il suo compleanno, anche Claudia decide di festeggiare in palestra e pensa fra sé: "L'altra volta la povera Laura ha avuto meno torta di Davide: questa volta porterò 3 torte e consentirò a Laura di scegliere per 2 volte la fetta più grande nell'ordine da lei preferito, così sicuramente mangerà più torta di Davide!!"

Ma questa volta Claudia si sbaglia e Davide esegue i tre tagli con una perfetta strategia che non dà scampo a Laura, riuscendo anche questa volta a mangiare più torta.

QUESITO B: Come taglia le 3 torte Davide? Quanta torta riesce a mangiare?

A questo punto entra in campo Massimo che afferma: "Il fenomeno è governato da una legge fisica che non lascia scampo a Laura: anche se qualcuno portasse 100 torte e Laura potesse scegliere 99 volte la fetta più grande, purtroppo per lei, non mangerebbe lo stesso più torta di Davide!!"

QUESITO C: Quale è la relazione che permette a Massimo di fare la sua affermazione? Date n torte, quale è la strategia di taglio ottimale per Davide? Date n torte che parte di esse potrà mangiare al massimo Laura?

Coraggio al lavoro! Il primo quesito è veramente alla portata di tutti, il secondo (una volta trovato il metodo per il primo) può essere affrontato e risolto. Per il terzo... in bocca al lupo!

Brain Training #2: la rivincita "perfetta"

Ritorna il Brain Training, con un problema aritmetico più semplice ma che richiede comunque una certa dose di intuito.

La rivincita "perfetta"

Dopo vari tentativi andati a vuoto, il GM degli All Stars Claudia riesce ad organizzare la rivincita della partita di Pagnano contro gli Scoppiati. Si gioca al meglio dei 21 punti per set e dei 3 set su 5.

Gli All Stars partono male, nervosi e emozionati, e perdono non di molto il 1° set. A questo punto però, sospinti dal caloroso incitamento dei molti sostenitori accorsi alla palestra di Oreno, danno il tutto per tutto e mostrando un eccezionale gioco di squadra vincono nettamente i successivi tre set, tutti e tre con il medesimo punteggio.

Durante i festeggiamenti al Klacson, Massimo si fa improvvisamente pensieroso, prende un tovagliolo di carta ed una matita e comincia a fare strani conti. Ad un certo punto si alza in piedi ed esclama :"Non solo abbiamo vinto, ma il punteggio della partita ha una proprietà aritmetica perfetta !!"

Massimo, stimolato dall'alcool (!!!) e dai racconti della partita fatti da Rocco (???), ha notato infatti che:

1. sia la somma dei punti ottenuti dagli All Stars che la somma dei punti ottenuti dagli Scoppiati sono dei quadrati perfetti (la loro radice quadrata è un numero intero)
2. la somma dei punti degli All Stars è un numero che si ottiene sommando tre numeri dispari consecutivi
3. la somma dei punti degli Scoppiati è un numero che si ottiene sommando tre numeri pari consecutivi

QUESITO A: quale è stato il punteggio finale dei singoli set della partita?

Coraggio All Stars, cercate di risolvere l'arcano aritmetico!! Anche Rocco, che ha pagato il giusto fio (e lui sa perché...), può dare la sua risposta.