Le feste sono finite, abbiamo gozzovigliato a volontà e adesso è il momento di dimostrare che tutto quello che abbiamo ingurgitato avrà anche appesantito il nostro fisico, ma non ha intaccato in nessun modo la nostra attività cerebrale.
Nell'ultimo Brain Training abbiamo spaziato dai gelidi territori dell'informatica alle sognanti lande del tempo immaginario, dalla fascinosa teoria della relatività alle visionarie fiabe di Lewis Carroll: torniamo ora alla tangibile realtà del mondo fisico con un problema facile facile di cinematica e matematica applicata, nell'ambientazione tipica All Stars.
Le fatiche di Chiara, ovvero è inutile correre se sei sulla strada sbagliata!
Lunedì sera. Gli All Stars iniziano l'allenamento settimanale con la solita corsa di riscaldamento intorno al campo. Patrice raccomanda di stare in gruppo e di mantenere un passo costante e non troppo veloce, ma la solita esuberante Chiara non riesce a contenere la propria fisicità, superando e staccando in breve tempo tutto il gruppo dei compagni di squadra.
Patrice arresta allora l'esercizio e rivolto a Chiara l'apostrofa così :«Se proprio vuoi darti da fare, ti propongo un nuovo esercizio: mentre il resto della squadra girerà intorno al campo a passo di corsa, tu girerai intorno alla squadra! Pensi di riuscire in questa prova?»
«Non ci avevo mai pensato Coach!!» esclama Chiara, «certo che ci riuscirò, sarà una cosa da nulla!»
«Bene, allora proviamo» conclude Patrice. «Ragazzi, restate esattamente sul perimetro del campo e cercate di mantenere una velocità tale da completare un giro in 30 secondi. Escludendo Chiara siete in 11: mantenete una distanza fra di voi di 1 metro. Tu Chiara parti insieme all'ultimo della fila, corri per raggiungere il primo, giri indietro, torni all'ultimo della fila e riparti per raggiungere nuovamente la testa... Ah Chiara, per rendere più interessante il tutto, devi raggiungere nuovamente il compagno che chiude la fila nel contempo che lui ha completato un giro di campo. PRONTI? VIA!!»
Massimo (che come al solito, armato di carta, penna e calcolatrice, ha stimato la velocità media da tenere, oltre naturalmente all'accelerazione centripeta, alla forza centrifuga, al momento angolare e ad un altro paio di parametri fisici dal significato più oscuro... ) parte in testa seguito dai 10 compagni e da Chiara. Dopo alcuni giri Chiara esclama trionfante :«AH AH AH! Niente di più facile, un gioco da ragazzi... anzi da All Girls!!»
Quesito 1: che velocità media deve tenere Chiara per superare la prova? Ad ogni giro del campo fatto dai suoi compagni, che distanza percorre Chiara?
Patrice interrompe nuovamente l'esercizio e, leggermente contrariato, propone a Chiara un nuovo test :«Adesso facciamo così: Massimo correrà da solo per 3 giri intorno al campo, correndo il primo giro in 30 secondi ed accelerando istantaneamente ad ogni giro successivo per aumentare la velocità secondo una semplice progressione aritmetica» (e Massimo comincia a calcolare alla quinta decimale le velocità sul giro, il momento d'inerzia, la quantità di moto, l'energia cinetica... O_o ) «tu Chiara partirai insieme a Massimo, ma nella direzione opposta e, quando vi rincontrerete, dovrai invertire il senso di marcia, raggiungere nuovamente Massimo e completare il giro contemporaneamente a lui. E questo per tutti e tre i giri».
«Mi sembra un poco più complicato Coach, ma ce la posso fare. Pronto Max? Partiamo!!»
Quesito 2: riuscirà questa volta Chiara a portare a termine la prova? Che velocità media dovrà tenete nel terzo ed ultimo giro?
Prendete voi ora carta, penna e calcolatrice e soprattutto... scatenate i vostri neuroni! Ah dimenticavo... sono ammesse misurazioni sperimentali sul campo di Sulbiate: quindi, se volete, armatevi di cronometro e... correte!! xD
6 commenti:
Quesito 1
Chiara, oltre che una brava atleta, è una persona intelligente. Capisce che il modo più semplice per girare intorno ai compagni di squadra consiste nel raggiungere la testa del gruppo, spostarsi appena dall’altro lato della fila dei ragazzi che corrono e farsi piano piano risuperare da tutti. Dovendo inoltre chiudere il giro contemporaneamente all’ultimo degli 11 compagni in fila, ella non farà altro che correre, come lui, per 54 metri nel tempo di 30 secondi. Quindi con una velocità media di 1,8 m/s, pari a 6,48 km/h.
Quesito 2
La seconda prova viene effettuata da Chiara 3 volte. Nel giro #2 e nel giro #3 la sua “lepre”, Max, corre più velocemente che nel giro #1, ma i ragionamenti applicabili al giro #1 sono validi anche per i giri a seguire.
La prova non è impossibile e la difficoltà per Chiara consiste nel decidere quanta strada percorrere in senso inverso prima di incontrarsi con Max.
Percorrendo poca strada (distanza x “piccola”) sarà conseguentemente inferiore il tragitto da compiere all’inseguimento di Max, ma sarà molto inferiore anche il tempo disponibile, essendo Max prossimo alla meta. Percorrendo molta strada, quindi con un x di 20 o 30 o 40 metri, gli inconvenienti saranno che, pur avendo più tempo a disposizione perché Max è ancora lontano dalla sua meta, bisognerà correre velocemente sia all’andata sia al ritorno.
Siccome v= s/t allora:
v1= x / [(54-x)/1,8]
v2= (54+x) / {30-[(54-x)/1,8]}
dove v1 è la velocità con cui Chiara percorre x e v2 è la velocità con cui Chiara deve rincorrere Max dopo averlo incontrato nel punto x (con Max che ha percorso, ovviamente, un tratto pari a 54-x).
Se x=30 allora v1=2,25 v2=5,04
Se x=35 allora v1=3,31 v2=4,57
Se x=40 allora v1=5,14 v2=4,23
Una velocità di 5 m/s equivale a 18 km/h. Secondo me siamo nell’ordine di velocità che Chiara può tenere per 30 secondi. Percorrendo un x di 35 metri circa non dovrebbe avere problemi.
La media (ponderata sui tempi) delle due velocità v1 e v2 dà la media richiesta dal quesito.
Quesito n. 1
Chiara è praticamente un aeroplanino che percorre il globo (la squadra) in movimento rotatorio: la distanza tra la coda (dove ci sarà sicuramente Cristiano a spingere e pronto a frustare quelli davanti in caso di cedimenti fisici) e la testa (dove c'è Max a tirare psicologicamente il gruppo, ma solo perché Dav ha il ginocchio "valgo") della squadra, percorsa in avanti, è più grande della distanza percorsa per il tragitto opposto tra la testa e la coda.
Chiara deve partire insieme alla coda raggiungere la testa e arrivare insieme alla coda. Il tutto in 30" e senza mai superare il gruppo restando nel segmento dei 10 m mobili tra testa (Max) e coda (Cristiano) del gruppo.
Per cui a Chiara non resta che partire insieme a Cristiano, raggiungere Max quando questi finisce il giro e attendere (girata di spalle) per farsi raggiungere da Cristiano.
Se non si considera questa attesa la velocità media di tutti (e anche di Chiara) è di 54 m / 30 sec, ovvero 1,8 m/sec.
Tuttavia consideriamo invece che tra Max e Cristiano ci sono 10 m (1 metro tra ognuno degli 11) e che quindi Cristiano e Chiara partono 5,555 sec dopo Max e che Chiara finisce il giro insieme a Max (poi attende Cristiano). Questo ci porta a dire che la velocità media di Chiara è di 54 m / 24,445 sec, ovvero 2,209 m/sec.
Quesito n. 2
* Supponiamo una semplice progressione aritmetica per la quale Max percorre 54 m in:
- 30 sec al primo giro (v = 1,8 m/sec)
- 22,5 sec al secondo giro (v = 2,4 m/sec)
- 18 sec al terzo giro (v = 3 m/sec
* concordando con le equazioni di Dav v1 e v2
Io opterei per ottimizzare la velocità facendo in modo che v1=v2 (velocità con cui Chiara incrocia Max = velocità con cui Chiara rincorre e raggiunge Max). Risolvendo (e scartanto la soluzione negativa) si ha che Chiara dovrebbe percorrere poco più di 38 metri (per la precisione 27√2) dall'inizio del giro per incrociare Max e mantenere una velocità media di 4,35 m/sec al primo giro, per passare a 5,79 m/sec del secondo giro, fino ad arrivare a 7,24 m/sec al terzo giro.
Più in generale Chiara deve farsi il mazzo e correre 4,35 m/sec al primo giro e in progressione aritmetica negli altri giri (a seconda dell'accelerazione di Max), facendo in modo di incrociare Max a poco più di 38 metri dall'inizio di ogni giro.
Secondo me cmq Chiara tra una corsa e l'altra si arrampica sulla pertica...
Il BT#6 non decolla... :-(((
Ma allora davvero gli ozi ed i bagordi delle festività passate hanno lasciato il segno!!
“Illud iucundum nihil agere”... e non dite che avete troppo da lavorare: il “Grido” canta!!!
Comunque, un giusto commento per chi ha invece postato la propria risposta:
@Rocco e @Davide: bravi, ma non mi convincete appieno nelle risposte al quesito 2.
In particolare Davide non risponde esattamente a tono al quesito (Chiara ce la fa o no?) e Rocco usa, per calcolare le velocità sui tre giri, una progressione aritmetica bella e fantasiosa (3/3, 4/3, 5/3…): ma sei sicuro che Max avrebbe usato proprio la stessa?
Max è un “logico calcolatore” e se Pat ha detto “progressione aritmetica”, Max penserà sicuramente alla Progressione Aritmetica per antonomasia!!
Vi propongo un approfondimento: vi siete entrambi accorti che nel secondo test Chiara può tenere coppie di velocità diverse... Ma quale è la coppia di velocità che rende minima la velocità media di Chiara? Attenti che sarà necessario porre un limite alla velocità massima che Chiara può raggiungere.
Buon lavoro e... pensate a Leibniz!!
Caro Max,
ho letto il tuo commento. Mi riprometto di approfondire il BT#6 dopo il TORNEO DELLA BEFANA e relativa atmosfera post torneo.
A me sembrava di avere risposto a quel quesito... "Secondo me siamo nell’ordine di velocità che Chiara può tenere per 30 secondi. Percorrendo un x di 35 metri circa non dovrebbe avere problemi.
La media (ponderata sui tempi) delle due velocità v1 e v2 dà la media richiesta dal quesito."
SPOILING TIME (sul blog stesso si può)
Aspettati un altro mio commento...
ciao Alls, premetto che non ho letto le soluzioni dei ragazzi postete sopra ma che per la 1° volta provo a fare un ragionamento MATEMATICO !! voglio stupirmi..
allora quesito 1° per incominciare..
dunque un campo da pallavolo ha un perimetro di 54 metri se non sbaglio.. i 54 metri (54metri = 54X, 1metro = 1X) gli 11 componenti degli Alls (11persone = 11Z) li devono percorrere in 30° (30secondi = 30Y)tra Max e l'ultimo della fila Laura, con cui parte Chiara, ci sono 10 metri (11x - 1x= 10X) dunque..
che funzione ci devo applicare ?? Chiara per arrivare da Max fa 10 metri e per tornare da Laura altri 10 metri = 20x.. quindi quando Chiara è arrivata da Laura Max ha già fatto 20 metri (20x)..
Max aiutami, mi sto perdendo !!
va bene passiamo ad altro.. Svelerò perchè
la nostra Alls Girls Chiara ha tutta questa energia in corpo che le permette di fare Wonder Women negli allenamenti della corsa.. Se a casa Chiara mangia a cena la Polenta con il Brasato 2 ore prima di correre, nel momento della corsa lei avrà appena digerito il tutto e sarà così carica di forze che ci supererà sempre.. il problema arriva quando, consumate le forze nella corsa, durante la partita incomincerà a sentirsi un pò appesantita e così non riuscirà a saltare a rete per chiacciare e murare :( A Chiara o smetti di mangiar Polenta e Brasato o smetti di correre più veloce di noi e le energie accumulate dalla cene le bruci schiacciando e murando, semplice no ?????? :))))))))
Bene è ora di chiudere il BT6. Forse questa volta sono stato “troppo” matematico o forse semplicemente banale, ma questo BT è stato accolto molto freddamente e non ha generato quella discussione e quello scambio di opinioni ed idee che sono alla base stessa dei Brain Training. Comunque...
Dalla descrizione di Patrice si deduce che la lunghezza del giro è di 54 metri (il perimetro di un campo da volley), la fila è lunga 10 metri (11 corridori distanziati di 1 metro), la velocità dei corridori della fila è di 1,8 metri al secondo (54 metri in 30 secondi).
Devo dire che Davide e Rocco hanno risposto in maniera perfetta al 1° quesito, trovando la soluzione che ottimizza lo sforzo di Chiara riducendo al minimo la strada da percorrere: come dicono bene i due Chiara non deve che raggiungere la testa della fila nel momento in cui Massimo completa il giro, fermarsi, girarsi ed attendere che l’ultimo della fila completi a sua volta il giro.
Chiara dovrà correrà il giro in circa 24,4 secondi (alla velocità di 54/24,4 = 2,21 m/sec) ed attendere ferma per circa 5,6 secondi. In definitiva percorrerà solamente 54 metri ed alla velocità media di 1,8 m/sec, proprio come tutti i suoi compagni!
Il 2° quesito è più difficile, ma anche qui Davide e Rocco trovano la strada giusta per la soluzione. Davide spiega bene che esistono infinite coppie di velocità che Chiara potrebbe tenere per superare la prova, mentre Rocco sceglie la strada della velocità costante e trova una soluzione non ottimale ma abbastanza favorevole.
Ma quale è la coppia di velocità che ottimizza lo sforzo di Chiara o in altre parole, a quale distanza Chiara deve incontrare Max ed invertire il senso di marcia per rendere minima la sua velocità media?
La risoluzione diventa parecchio più complicata e fa ricorso al calcolo differenziale. Non vado nel dettaglio (anche perché non mi pare che la proposta fatta abbia riscosso il minimo interesse) ma in breve e usando la simbologia di Dav: v1 è una funzione che cresce al crescere della distanza x, v2 viceversa decresce al crescere di x. La funzione somma (v1+v2) ha quindi un punto di minimo. Allora lo zero della derivata prima della funzione somma dà il valore di x per cui è minima la velocità media di Chiara.
Limitando il calcolo all’intervallo di velocità da 0 a 10 metri al secondo, Chiara deve percorrere una distanza x di 11,85 metri per tenere una velocità media di 2,59 m/sec (il minimo possibile) con v1=0,59 e v2=10.
Assegno 3 punti a Davide e Rocco per l’impegno e per le soluzioni date. Assegno 2 punti a Laura per il suo solito splendido spirito divertito e divertente.
Nuova classifica:
1° Davide e Max 12 punti
2° Claudia e Rocco 11 punti
3° Laura 8 punti
4° Alice, Luca, Pensiero Profondo e Sara 3 punti
5° Simone 2 punti
6° Giulia e Serena 1 punto
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