Carissimi All Stars ecco l'ultimo Brain Training prima delle meritate vacanze agostane. Per darvi materiale su cui riflettere ho scelto un problema a livelli differenziati: il quesito A è infatti di livello facile, il quesito B è leggermente più complesso (livello medio), mentre il quesito C, decisamente più "astratto", sfiora il livello diabolico.
Il problema può essere affrontato da più punti di vista e con metodi diversi: algebra, geometria, approssimazioni successive, semplice intuizione.
Le torte di compleanno: penso dunque mangio!!
E' il giorno del suo compleanno e allora Luca decide di festeggiare in palestra con gli amici portando cibarie e bevande per tutti. In particolare, conoscendo bene i suoi polli, porta due splendide torte al cioccolato solo per Laura e Davide.
I due golosastri si stanno per avventare sulle torte quando Luca, con una strana luce negli occhi, li ferma dicendo:
"Eh no cari ragazzi, troppo facile!! Dovete meritarvi la vostra dose di cacao e zucchero!! Per mangiare le torte dovete rispettare queste condizioni:
- Davide deve tagliare la prima torta in 2 parti, nelle proporzioni che preferisce.
- Laura dovrà scegliere quali delle 2 fette mangiare, a Davide toccherà l'altra.
- Davide taglierà quindi la seconda torta in 2 parti, sempre nelle proporzioni da lui preferite.
- Se Laura avrà scelto la prima volta la fetta più grande, dovrà mangiare la fetta più piccola della seconda torta, e viceversa.
Avanti Davide comincia a tagliare!!"
Davide pensa intensamente per alcuni minuti, osservando famelicamente le attraenti torte, e alla fine decide la sua strategia di taglio che gli consente di mangiare più torta di Laura.
QUESITO A: La strategia di Davide ha avuto successo!! Come taglia le 2 torte Davide? Quanta torta riesce a mangiare?
Dopo qualche mese, per il suo compleanno, anche Claudia decide di festeggiare in palestra e pensa fra sé: "L'altra volta la povera Laura ha avuto meno torta di Davide: questa volta porterò 3 torte e consentirò a Laura di scegliere per 2 volte la fetta più grande nell'ordine da lei preferito, così sicuramente mangerà più torta di Davide!!"
Ma questa volta Claudia si sbaglia e Davide esegue i tre tagli con una perfetta strategia che non dà scampo a Laura, riuscendo anche questa volta a mangiare più torta.
QUESITO B: Come taglia le 3 torte Davide? Quanta torta riesce a mangiare?
A questo punto entra in campo Massimo che afferma: "Il fenomeno è governato da una legge fisica che non lascia scampo a Laura: anche se qualcuno portasse 100 torte e Laura potesse scegliere 99 volte la fetta più grande, purtroppo per lei, non mangerebbe lo stesso più torta di Davide!!"
QUESITO C: Quale è la relazione che permette a Massimo di fare la sua affermazione? Date n torte, quale è la strategia di taglio ottimale per Davide? Date n torte che parte di esse potrà mangiare al massimo Laura?
Coraggio al lavoro! Il primo quesito è veramente alla portata di tutti, il secondo (una volta trovato il metodo per il primo) può essere affrontato e risolto. Per il terzo... in bocca al lupo!
21 commenti:
Quesito A)
Come taglia le 2 torte Davide?
Quanta torta riesce a mangiare?
Davide taglia la prima poco oltre la metà e fa scegliere a Laura che ingolosita prende la fetta più grande (corrispondente a 5/8 della torta)
Poi taglia la seconda con una sproporzione paurosa. Sapendo che la fetta più grande della suddivisione successiva spetta a lui lascia a Laura 1/8 di essa.
Davide si mangia in totale 3/8 della prima e 7/8 della seconda... il solito stratega ingordo....Quesito B)
Come taglia le 3 torte Davide?
Quanta torta riesce a mangiare?
Laura anche questa volta non ha scampo... non può averlo finché il manico del coltello è dalla parte di Davide che usa la stessa strategia.
La fetta di 5/8 della prima torta se la aggiudica ancora Laura che sceglie di nuovo per prima.
La fetta di 7/8 se la aggiudica Davide che sa che tagliando la terza nello stesso modo della prima anche questa volta si accaparrerà il pezzo maggiore.
Davide si mangia in totale 3/8 della prima e 7/8 della seconda... e i nuovo 3/8 della terza.
Quesito C)
Quale è la relazione che permette a Massimo di fare la sua affermazione? Date n torte, quale è la strategia di taglio ottimale per Davide? Date n torte che parte di esse potrà mangiare al massimo Laura?
La legge fisica a cui si riferisce Massimo è data dalla mano e dalla gola di Davide.
La strategia di taglio ottimale è data dall’alternanza della scelta. La strategia di Davide è quella di alternare i tagli, uno più equo e uno meno equo a seconda di chi tocca a scegliere.
Laura in sostanza si dovrà accontentare degli avanzi di Davide perchè è lui che ha “il coltello dalla parte del manico”.
Interessante Claudia, molto interessante. La tua soluzione merita subito 2 commenti:
1. Ci sono diverse (direi anzi infinite) strategie di taglio che consentono a Davide di mangiare più torta di Laura, ma solo una che permette a Davide di mangiare più torta possibile.
2. Attenzione alla successione delle scelte: non c’è alternanza ma, date ad esempio n torte, Laura può scegliere n-1 volte la fetta più grande ed 1 sola volta è costretta a prendere la fetta più piccola. E la scelta Laura la può fare nell’ordine che preferisce: per esempio per 3 torte la scelta può essere grande, grande, piccola oppure grande, piccola, grande oppure ancora piccola, grande, grande.
Davide decide il taglio, ma Laura ha il libero arbitrio delle scelte!!
Comunque complimenti per la velocità e l'impostazione.
Il quesito C del Brain Training #3 rappresenta il caso generale (ci sono un numero generico n di torte) di un problema che nel quesito A viene posto per n=2 e nel quesito B per n=3. Dedichiamoci quindi al caso più generico.
Ci sono n torte da dividere. Davide effettua le divisioni delle torte a suo piacimento e Laura ha la possibilità per n-1 volte di scegliere la fetta più grande. E’ a discrezione di Laura decidere quando giocarsi le sue n-1 priorità di scelta nel corso delle n spartizioni di torta.
L’obiettivo di Davide è quello di mangiare complessivamente più torta al cioccolato rispetto a Laura ma Laura può quasi sempre scegliere quale fetta di torta mangiarsi.
Quindi la strategia di Davide è quella di fare in modo che sarà sempre il taglio della torta successiva ad essere quello decisivo. E’ una strategia d’obbligo in quanto l’asso nella manica di Davide è che, se occorre, può “giocarsi tutto” con l’ultimo taglio.
Ciò può accadere solo se Davide fa in modo che la differenza tra la parte grossa e la parte piccola di torta sia sempre una frazione della torta pari a:
1/(2^t)
dove t va da n-1 a 0 durante i vari tagli di torta (t=n-1 al primo taglio, t=n-2 al secondo taglio, t=0 durante il taglio dell’ultima torta).
Un esempio chiarificatore: con 8 torte (l’esempio con 1oo viene un po’ lungo…) e quindi con n=8, nelle otto suddivisioni la differenza tra le due “fette” di torta sarà una frazione di torta pari a:
1/128, 1/64, 1/32, 1/16, 1/8, ¼, ½, 1
con l’unica attenzione da porre sul fatto che all’ottavo (e in generale, nell’ultimo) taglio quell’ 1 è in verità un “1 meno… briciole”, dovendosi trattare come sempre di una differenza tra due fette (una fetta fatta di poche briciole e una fatte fatta di quasi tutta la torta).
Si vede chiaramente che nel passare da t=n-1 a t=0 è sempre la spartizione della torta successiva a stabilire “chi sta vincendo”.
Se Laura sceglie lei la sua parte di torta per tutte le prime n-1 torte, otterrà il massimo di quello che può ottenere: cioè perdere per una frazione di torta pari a
1 – (sommatoria 1/(2^t)) – qualche briciola , con t che va da n-1 a o
cioè una frazione di torta che è tanto più vicino a zero quanto più grande è n.
Se Laura dovesse invece durante il gioco lasciare a Davide la scelta della fetta più grande tra quelle da lui proposte, prima che t sia pari a 0, allora Davide “passerebbe subito in vantaggio” e per tutte le torte restanti potrebbe semplicemente continuare a dividerle in parti uguali. Così facendo Laura non avrebbe più modo di recuperare.
Si potrebbe approfondire la questione nel caso di un n tanto grande (1000? 10000? 100000?) da far diventare significative le briciole dell’ultimo “taglio”…
E’ un’osservazione che andava fatta ma che penso esuli dalla trattazione originaria del Brain Training #3.
nel caso A, abbiamo 2 torte (T1 e T2). l'obiettivo di D è mangiare almeno una quantità di torta pari a [(T1+T2)/2]+dT, xciò può tagliare T1 come vuole: poi a seconda della scelta di LAU, taglierà la seconda di un dT in + o in -, in modo da far sì che sia rispettata la relazione scritta sopra. (dove dT = un infinitesimo di torta)
nel caso B le cose si complicano un po' non tanto x l'aumento del numero di torte da 2 a 3, ma x il fatto che LAU può fare 2 scelte QUANDO MEGLIO CREDE. ergo D deve dare il "taglio decisivo" nell'ultima torta, per fare in modo che possa mangiare almeno una quantità pari a [(T1+T2+T3)/2]+dT, cioè D a seconda delle prime 2 scelte di LAU taglierà la 3^ in modo che sia rispettata la relazione suddetta.
nel caso C, il + generale, quello che contiene anche i casi A e B, allora D attende le varie mosse di laura: se in T1 LAU prende la + piccola, allora D è già in vantaggio e gli basterà tagliare la torta successiva di un dT + piccola di qnto fatto con la T1 x mangiare + torta. altrimenti attenderà che LAU faccia la scelta della fetta + piccola in una delle torte successive a T1, dopodichè D taglierà quelle successive in modo che possa recuperare lo svantaggio accumulato nei primi tagli, fino ad arrivare a mangiare almeno [(T1+T2+...+Tn)/2]+dT.
ps: ci tengo a precisare che ho usato solo l'approccio intuitivo tra qlli possibili elencati da max, x mancanza di tempo, ergo non mi aspetto di ricevere un punteggio (sempre che sia giusta la soluzione......)
ciaooooo
ecco....appena postata la mia, ho visto la soluzione di davide: molto buona, capisco xkè 6 "già stanco" x oggi...........infatti con "mancanza di tempo" mi riferivo proprio a qllo ;-)
Caro Luca, quasi non m'hai fatto dormire con la tua osservazione in pizzeria su n=2. Ho puntato la sveglia per controllare stamattina come stavano le cose.
Con n=2, come da strategia descritta, Davide divide la torta in 2 parti, una di 3/4 di T e una di 1/4 di T. La differenza tra le due parti è appunto 1/2 di T, come vuole la soluzione da me proposta.
Laura sceglie per forza 3/4T e, per la seconda torta, Davide fa una fetta fatta di poche briciole (un o piccolo della torta...) e una fetta pari a tutto il resto della torta. Davide prenderà questa seconda fetta e "vincerà la partita".
Non è la strategia che consente a Davide di gozzare più che può quando n=2, ma, volendo una strategia valida prima di sapere il reale valore di n, non mi viene in mente nulla di meglio.
Ma trombare un pò, NO?????
@All: scusate se non ho ancora tentato di risolvere il quesito ma sapete com'è.. Non riuscendo a mangiare più torta di davide, per la disperazione, mi sono vista costretta a fare altro.. ergo fare GINNASTICA da Camera, sì ma nei miei sogni ovviamente !! Però, così a pelle, io proporrei a davide di collegarsi virtualmente ai miei sogni di notte tramite ALL-terapia in modo che svolgedo la stessa attività fisica, non c'è bisogno delle braccia, insieme a me lui possa smaltire tutta la torta che a vita mangerà più di me :) Se questo non è gioco di squadra :))))))
Così come ho commentato la risposta di Claudia, lascio qualche piccola nota per le altre soluzioni presentate.
@Laura: che dire se non “esattamente il tipo di risposta che mi sarei aspettato da te” ;-))) L’anonimo è zittito, gli All Stars osano là dove volano le aquile!!
@Luca: nonostante l’interpretazione più matematica la tua risoluzione ha gli stessi limiti di quella proposta da Claudia: può permettere a Davide di mangiare più torta, ma non la più grande quantità possibile di torta. Inoltre, non definendo esattamente i tagli, lasci molta aleatorietà nella strategia di Davide. La strategia “ideale” è una ed una sola.
@Davide: complimenti per la presentazione e per il metodo originale: direi che hai usato come strategia quella dell’ottimizzazione delle differenze fra le fette o se vuoi della minimizzazione degli scarti. Ti faccio solo 2 piccole note su cui puoi, se vuoi, riflettere:
- Perché dici “se Laura sceglie lei la sua parte di torta per tutte le prime n-1 torte, otterrà il massimo di quello che può ottenere...”? Osserva bene il meccanismo di scelta: la libertà di Laura è solo fittizia, il suo libero arbitrio è inutile...
- Ad un certo punto affermi “non è la strategia che consente a Davide di gozzare più che può...” Sei sicuro? Come puoi dimostrare che una strategia scelta è veramente l’ottimale? Pensa sempre a Laura ed al suo falso “libero arbitrio”.
Comunque bravi a tutti i valorosi che si sono finora cimentati. Lascio ancora qualche giorno per aggiungere commenti e risposte; provate a risolvere semplicemente per tentativi i Quesiti A e B, vedrete che potrete trovare qualche bella soluzione
PS Visto che Davide è così bravo da tagliare con precisione 1/128, 1/256, 1/512 di torta e così via, possiamo supporre che nel caso estremo sia in grado di tagliare una minuscola fetta pari ad 1 molecola di torta, lasciando una grande fetta pari alla torta intera (a meno di 1 molecola). xD
Ho controllato molto approfonditamente e questa è sicuramente la risposta:
Davide pensa intensamente per alcuni minuti, osservando famelicamente le attraenti torte e alla fine, colto da un raptus di ingordigia, afferra entrambe le torte e fugge ululando nella notte...
Pensiero Profondo grandioso! :-)
@Davide... mi hai rubato la digitazione dei tasti (alias le parole di bocca)
Se veramente a beneficiare delle torte sono sempre Davide e Laura, allora i quesiti sono impossibili e non possono avere soluzioni. "Impossibili" in quanto nessuno sarebbe così folle da portare delle torte, in particolar modo con del cioccolato, e permettere che siano solo gli altri a farsi una scorpacciata mentre il festeggiato rimane a bocca asciutta.
O meglio, va bene la filantropia, però io alla mia fetta di torta non riuscirei a rinunciare.
Fonte: la prova del cuoco
Premesso che concordo con l'affermazione di Pensiero Profondo ma anche con quella di Simone, quale All Stars degno di tale squadra si farebbe scapparare una fetta di torta a beneficio di solo 2 componenti, quello che noto non essere venuto per l'anticamera del cervello di nessuno di voi mi stupisce..
Ma ragazzi, stiamo parlando di 2 elementi che ormai abbiamo conosciuto bene, di cui quasi possiamo anticipare le mosse e quindi..
Ma quale "falso libero arbitrio" di Laura.. stiamo parlando di un'alzatore, che da vero leader della squadra, deve essere anche freddo e razionale, nonchè egoista.. e stiamo parlando di un centrale che vorrebbe schiacciare tutte le palle possibili, soprattutto le più difficili..
Premesso questo dettaglio non irrilevante la funzione è semplicissima:
Laura consciamente e razionalmente prenderà sempre la fetta più piccola, poichè deve mantenere la linea per muoversi il più veloce possibile sotto rete e nel campo, consentento volontariamente a davide di mangiare più torta in quanto essendo lui un centrale dovrà correre e muoversi ancora di più, facendo molti più scatti, ergo avrà bisogno di più energie :)
Ovviamente il tutto è stato concordato a tavolino dai nostri golosastri, permettendo così a max di dar sfogo alla sua genialità e a voi di passare le vostre notti insonni causa calura estiva con un dolce pensiero :)
Tutto tipicamente come una Squadra Amatoriale sì, ma dotata di elementi unici e insostituibili :) Bacio
infatti.... Laura... 6 Unica ed insostituibile!!!
Cmq tra un po' è il mio di compleanno e il coltello dalla parte del manico ce l'avrò io.... hihihihihihih
Volete farvi 2 ghignate? Provo anch'io a rispondere su suggerimento di Laura, ma per ora solo al quesito A che è l'unico per il quale mi è venuta in mente una soluzione semi-plausibile:-)
Secondo me nel primo taglio Davide dovrebbe dividere la torta in 2 parti esattamente uguali (ad esempio 3/6 e 3/6 della torta). Nel secondo taglio invece dividerà la torta in due parti equivalenti a 1/6 e 5/6. Dato che Laura nel primo taglio sarà costretta a prendere la fetta di 3/6, nella seconda torta dovrà scegliere per forza quella da 1/6. In questo modo Davide potrà mangiarsi 3/6 + 5/6 = 8/6 di torta e Laura solo 3/6 + 1/6 = 4/6.
@Giulia. Giusto! Nel quesito A Laura ha priorità di scelta solo con la prima torta. Quindi Davide fa bene a tagliarla in 2 parti uguali. Poi può sfogarsi con la seconda torta.
@Max. Purtroppo, malgrado i tuoi inviti a riflettere sul libero arbitrio di Laura, non riesco a migliorare la mia risposta. Io mi fermo dov'ero prima.
Giulia, buon tentativo ma con un’inesattezza sostanziale: se Davide taglia la torta in 2 parti esattamente uguali, nulla vieta a Laura, che vuole anch’essa massimizzare la quantità di torta mangiata, di scegliere comunque la fetta “piccola” che solo accidentalmente vale 1/2 come la fetta grande”. A questo punto Davide deve per forza tagliare la seconda torta nuovamente a metà: in definitiva i due si spartiscono equamente i prelibati dolciumi di Luca.
Comunque Giulia la tua strategia è vera “all’infinito” (guarda il prossimo commento e capirai perché) e quindi meritevole di nota. Very good!!
Chiudo infine anche questo Brain Training, che grazie a voi tutti si è sviluppato in maniera veramente interessante.
Come avete visto esistono diversi approcci per risolvere il problema, tutti formalmente corretti. Vi descrivo quello che ho usato io.
Il modo migliore per Davide di tagliare le torte è quello che porta al medesimo risultato indipendentemente dalla scelta di Laura; in altre parole Davide deve tagliare le torte in maniera tale che la scelta di Laura sia del tutto ininfluente sul risultato (ecco perché ho parlato dell’inutile libero arbitrio di Laura). Per semplificare la spiegazione partiamo dal Quesito A (caso delle 2 torte): vi mostro un approccio semplificato per tentativi ed un approccio algebrico più formale.
RISOLUZIONE PER TENTATIVI
TENTATIVO 1 = Davide taglia la 1a torta in 1/8 e 7/8.
Se Laura sceglie la fetta grande Davide taglierà la 2a torta in maniera tale che a Laura spetti solo una briciola (al limite 1 molecola) e quindi Laura mangerà 7/8 di torta.
Se Laura sceglie la fetta piccola Davide è costretto a tagliare la 2a torta a metà e Laura mangerà 1/8 + 1/2 = 5/8 di torta.
Laura sceglie quindi la prima via e a Davide spettano 9/8 di torta.
TENTATIVO 2 = Davide taglia la 1a torta in 2/8 e 6/8.
Se Laura sceglie la fetta grande Davide taglierà la 2a torta in maniera tale che a Laura spetti solo una briciola e quindi Laura mangerà 6/8 = 3/4 di torta.
Se Laura sceglie la fetta piccola Davide è costretto a tagliare la 2a torta a metà e Laura mangerà 2/8 + 1/2 = 6/8 = 3/4 di torta.
Indipendentemente dalla scelta di Laura a Davide spettano 5/4 di torta.
TENTATIVO 3 = Davide taglia la 1a torta in 3/8 e 5/8.
Analogamente al 1° tentativo, a seconda della prima scelta, a Laura spetterà 5/8 oppure 3/8 + 1/2 = 7/8. Laura sceglie i 7/8 e a Davide spettano 9/8.
TENTATIVO 4 = Davide taglia la 1a torta in 4/8 e 4/8.
Siamo nel caso più equo: Laura sceglierà la fetta “piccola” da 4/8 e Davide sarà costretto a tagliare anche la seconda torta a metà. Ai due spetterà esattamente una torta a testa.
Si vede quindi che nel 2° tentativo, Davide non lascia scampo a Laura, non gli permette scelta e massimizza la quantità di torta mangiata (5/4).
RISOLUZIONE ALGEBRICA
Sia x la dimensione della fetta più grande della 1a torta.
Allora se Laura decide di prendere x otterrà: x più una briciola della seconda torta; se invece decide di non prendere x otterrà: 1-x più metà della seconda torta (visto che toccando a Laura scegliere la fetta grande della seconda torta, Davide la taglierà esattamente a metà).
Quindi si deve avere:
x = 1-x+1/2 che risolvendo dà x=3/4. Davide dovrà tagliare la 1a torta a 3/4, Laura otterrà in ogni caso 3/4 di torta e Davide 5/4.
Se x>3/4 Laura prenderà la 1a fetta grande ottenendo un risultato migliore (e Davide di conseguenza non massimizzerà la sua abbuffata).
Generalizzando al caso di n torte, si vede che è sempre la strategia che non dà scelta a Laura quella che massimizza la quantità di torta mangiata da Davide.
La relazione algebrica che ci dice come tagliare la fetta della ennesima torta è
[1 + 2^(n-1)]/(2^n)
e quindi per n=2 => 3/4, per n=3 => 5/8, per n=4 => 9/16, per n=5 => 17/32 e così via.
Si vede bene che al crescere di n il taglio della 1a fetta di Davide si avvicina sempre di più ad 1/2, si avvicina asintoticamente alla metà. E quindi, al limite, per n = infinito, Davide taglierà la 1a torta (e di conseguenza tutte le altre) a metà e Davide e Laura mangeranno esattamente la stessa quantità di dolciume.
PS: l’ispirazione di questo BT viene da un articolo sui giochi d’azzardo e sulla Teoria dei Giochi pubblicato dal mensile “le Scienze”. La generalizzazione a n torte è comunque mia.
Assegno infine i punti per il BT#3. Siete stati tutti bravi e quindi sarete tutti premiati!!
- 1 punto a Claudia per il buon tentativo di risoluzione “geometrica”, non molto distante dalla strategia ideale.
- 1 ulteriore punto a Claudia per la prontezza e per aver comunque tentato di dare una risoluzione a tutti e 3 i quesiti.
- 3 punti a Davide per la sua risoluzione completa ed esatta del quesito C, fatta come già detto con un metodo molto originale (direi della minimizzazione degli scarti) rispetto al mio approccio più diretto (massimizzazione della vincita). Davide avrebbe potuto meritare un ulteriore punto se avesse identificato la sua strategia con la migliore possibile.
- 1 punto a Luca per il buon tentativo di risoluzione “algebrica”, che dà una strategia vincente anche se non ottimale.
- 1 punto a Laura per aver liquidato ironicamente l’anonima intrusione.
- 1 ulteriore punto a Laura per la sua stupefacente risoluzione allstariana e pallavolistica della vicenda.
- 1 punto a Simone per aver affrontato la risoluzione con un metodo tipicamente dialettico (direi quasi giuridico xD).
- 1 punto a Giulia per il suo tentativo sul quesito A, dove ha,un po’ inconsapevolmente, ritrovato la strategia all’infinito
CLASSIFICA al 18 Luglio 2010
1. DAVIDE = 7 punti
2. LAURA, LUCA e ROCCO = 4 punti
3. CLAUDIA = 3 punti
4. SIMONE = 2 punti
5. GIULIA e SERENA = 1 punto
Adesso tocca a qualche altro autore cimentarsi con la pubblicazione di un BT!! Coraggio, ogni argomento è lecito, usate logica ed ironia, fate correre la fantasia e applicate le vostre conoscenze, in qualsiasi campo esse siano.
Buone vacanze a tutti.
ciao allstars!!
orca mi sono perso il BT#3... ma cmq visto che rimane nell'etere rispondo ora al mio rientro con 2 soluzioni, che tengono conto anche dell'animo di Davide:
S1) Davide, mentre si avventa sulla prima torta e pensando alla simpatica canaglia della sua amica Laura, viene colto da un attacco di benevolenza nei confronti di Laura e finendo la prima torta per sè (buono sì, ma mica scemo), lascia le altre a Laura
S2) mentre Davide tenta di risolvere il BT#3 mattina, pomeriggio e notte anche dettagliando le risposte e riflettendo sui commenti di Max e gli altri, Laura si scofana le 2 torte
E ora una massima pugliese che prende spunto da questo BT:
C' spart', iav' la megghia part'
= chi fa le razioni, ha la migliore razione: in qualsiasi caso chi ha il coltello, anche se ti fa decidere la fetta migliore in tutte le n-1 volte, alla fine la vorrà spuntare e avrà sempre la miglior razione complessiva migliore... della serie "gli antichi guidati dall'intuito ne sapevano come i matematici"
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