La soluzione del B.T. #4

LE SOLUZIONI DEI QUESITI

Il racconto proposto nel Brain Training #4 narra di Cristiano, allenatore e unico titolare della gestione degli allenamenti, e di un gruppo di giocatori degli All Stars Oreno presenti in palestra mercoledì 25 agosto 2010. Nella finzione del racconto Cristiano annuncia, per il mese di settembre, un allenamento senza palla, nel quale verranno svolti solo test atletici. Gli All Stars reagiscono contrariati, con mugugni e malumori. Egli, per evitare che i giocatori disertino in massa l’allenamento senza palla, escogita al volo uno stratagemma.

Le parole esatte di Cristiano, che sono il cuore del Brain Training, sono queste:

“Il mercoledì dei test sarà di sicuro in settembre. Ma voi non saprete in quale mercoledì di settembre ci sarà la lezione senza palla fin quando, quel giorno stesso, qui in palestra, inizieremo appunto con le prove atletiche.”

Due proposizioni riassumono il periodo virgolettato di Cristiano:

(i) In settembre ci sarà un mercoledì dedicato ai test

(ii) Gli All Stars non sapranno quale sarà il mercoledì di settembre dedicato ai test finché questi non avranno inizio

Quesito A - Cristiano si  è contraddetto o no?

”Rem tene, verba sequentur” (Catone il Censore – II sec. a.C.)

L’evidenza dei fatti narrati è che mercoledì 15 settembre viene svolto l’allenamento senza palla, cioè la lezione di pallavolo di Cristiano è interamente dedicata allo svolgimento di test atletici. Quindi (i) è vera.

Quando, il 15 settembre, dopo il riscaldamento, Cristiano intima ai ragazzi di non toccare i palloni e di disporsi in maniera tale da poter iniziare i test di atletica, tutti i presenti rimangono sbigottiti. Nessuno degli All Stars aveva previsto, né tantomeno motivato, che i test si sarebbero svolti in quella data. Quindi (ii) è vera.

Siccome sia (i) sia (ii) sono vere, si evince che Cristiano non si è contraddetto.

Quesito B - Cosa c’è di giusto e cosa c’è di sbagliato nell’ultima frase di Max del 25 agosto?

“La prendo alla larga…” (Massimo Grillo, quello vero – XXI sec. d.C.)

La frase di Max (quello della narrazione) cui si riferisce il quesito è: “Non possiamo ritenere come vero che faremo i test in un giorno non conosciuto di settembre e da quella premessa dedurre come vero che non li faremo. Siamo noi in contraddizione! Cristiano è una persona seria!”

Questo ragionamento di Max coglie la natura contraddittoria dell’argomento trattato dal Brain Training #4. Per provare ad indagare il paradosso che le parole di Cristiano hanno generato nella discussione fra gli All Stars dobbiamo considerare tre proposizioni. Due le conosciamo già, e in più ce n’è una terza.

(i) In settembre ci sarà un mercoledì dedicato ai test

(ii) Gli All Stars non sapranno quale sarà il mercoledì di settembre dedicato ai test finché questi non avranno inizio.

(iii) Gli All Stars considerano vere sia la (i) sia la (ii).

Se la (iii) è vera, cioè se gli All Stars credono ciecamente alla verità delle parole di Cristiano, allora necessariamente ne risulta una contraddizione, in quanto l’allenamento senza palla logicamente non potrebbe svolgersi, né il 15 settembre, né in nessun altro mercoledì. Questo concetto viene spiegato bene da Chiara (“Se escludiamo il 29, poi il 22 e per lo stesso motivo escludiamo anche il 15 e l’8 e diciamo che li facciamo il 1° settembre, allora va escluso anche il 1°settembre perché, se non lo escludiamo, lo sappiamo già oggi che li faremo il 1° di settembre!” ). In sostanza le parole di Chiara ci dicono che se (iii) è vera, allora (i) e (ii) non possono essere entrambe vere!

Le frasi (i) e (ii) possono essere entrambe vere solo sotto la condizione necessaria che (iii) sia falsa. Se (iii) è falsa, cioè se gli All Stars non considerano vere le parole di Cristiano, esse non sono più in contraddizione. L’allenatore può far fare i test in un qualunque giorno, anche il 29 settembre, senza che si generi alcun paradosso logico. Ed è quello che accade nella narrazione. Gli All Stars, date le conclusioni dei loro ragionamenti, perdono fiducia nei ragionamenti stessi. Non sono più certi che (i) e (ii) siano vere. Quindi, quando Cristiano, il 15 settembre, dà il via ai test atletici, si verifica che (i) e, in particolare, (ii) sono vere entrambe.

Ora, tornando a Max, ripetiamo, egli dice:

Non possiamo ritenere come vero che faremo i test in un giorno non conosciuto di settembre e da quella premessa dedurre come vero che non li faremo. Siamo noi in contraddizione!

Cioè  Max coglie il fatto che (iii) vera implica che o (i) o (ii) sono false. Max evidenzia il fatto che c’è una contraddizione.

Nel racconto, Max, con quella affermazione, incita i compagni di squadra a cogliere la natura fallace delle loro conclusioni. Tuttavia il controsenso logico che si genera non è imputabile a Cristiano (che è una persona seria e che non si contraddice!) e non è imputabile ai ragionamenti di Max, Sara, Claudia, Chiara, Rocco, che sono ragionamenti corretti e coerenti.

La contraddizione logica deriva del fatto che, considerando le tre proposizioni in gioco, una di esse, la (iii), esprime un predicato sulle altre due.

Nella parole di Max c’è del vero nel cogliere la contraddizione. Il suo errore sta nell’attribuire la contraddizione ai ragionamenti degli All Stars, che sono invece formalmente corretti. La contraddizione è originata dalla natura paradossale della trattazione.

Se queste “soluzioni” dei quesiti A e B vi dovessero lasciare perplessi, cari All Stars, sarebbe assolutamente normale. E’ plausibile infatti che la sensibilità di chi legge possa comunque percepire Cristiano in contraddizione o valutare in maniera differente la frase di Max.

Spesso, quando all’interno di un percorso logico si trovano delle autoreferenze, cioè quando un percorso logico cita se stesso, come qui, dove (iii) cita (i) e (ii), si generano dei paradossi. In quanto paradossi, essi non sono risolvibili.

Esiste tutta una letteratura sui paradossi logici. I paradossi più citati sono: il paradosso del mentitore, il paradosso del barbiere, il paradosso dell’esame imprevisto.

Il Brain Training #4 è appunto un adattamento, ambientato nell’universo fantasy dei Brain Training degli All Stars Oreno, del paradosso dell’esame imprevisto. L’adattamento del racconto e la volontà di tradurre nel linguaggio più semplice possibile narrazione e spiegazione sono miei.

La conoscenza del paradosso ed il relativo “tentativo” di soluzione sono tratti da: “Il libro dei paradossi” di Nicholas Falletta. Prendiamo per buone le soluzioni di Falletta, esse sono il risultato di una ricerca che ha tenuto conto delle riflessioni di numerosi filosofi e matematici.

“Quod scripsi, scripsi” (Giovanni Evangelista – I sec. d.C.)

Forse esistono soluzioni migliori. Ma una soluzione esauriente, che levi ogni dubbio, purtroppo non esiste.

Quesito C - Quando possiamo fare una dimostrazione pratica, con le torte, del BT#3 ?

“Italum Acetum” (Quinto Orazio Flacco – I sec. a.C.)

A completamento di un Brain Training realizzato sì a ricalco dei BT di Massimo, ma con una trattazione certamente non canonica, troviamo infine una domanda apparentemente innocua. Arguzia e mordacità erano invece le chiavi di Volta di questo terzo quesito. L’autore da un lato dava la possibilità di postare una soluzione senza alcuna particolare perizia, ma dall’altro metteva alla prova la volontà del lettore di presentare una soluzione magari semplice, ma gustosa e “non banale”. In quest’ottica, come andrò a ribadire in seguito, la risposta di Massimo è stata assolutamente perfetta.

I PUNTEGGI

Claudia: 4 punti

1 punto per aver risposto al Brain Training di notte, subito, dopo poco più di un’ora dalla sua pubblicazione

2 punti per la mordacità della risposta al quesito C, risposta poi copiata e citata dagli altri solutori

1 punto per il commento personale e per l’immagine degli All Stars che discutono del problema in pizzeria anziché andarsene sconsolati a casa!

Sara: 3 punti

2 punti per aver risposto esattamente al quesito A

1 punto per una risposta parzialmente corretta del quesito B

Luca: 2 punti

2 punti per aver risposto correttamente al quesito A e per l’impegno profuso nel tentativo di analizzare il paradosso, anche se, tuttavia, l’analisi inerente il mercoledì numero (n-2) non è corretta. I mercoledì sono tutti ugualmente paradossali.

Rocco: 3 punti

1 punto per aver risposto correttamente al quesito A e perché l’autore del BT#4 in fondo è un buono, anche qui infatti andrebbe sottolineato che i mercoledì sono tutti paradossali allo stesso modo, non ce n’è uno privilegiato

2 punti per aver risposto correttamente al quesito B, pur senza una corposa argomentazione

Massimo: 10 punti

un po’ Honoris Causa, in quanto padre del Brain Training sul nostro blog, e un po’ con le seguenti motivazioni…

1 punto per aver scritto “La prendo alla larga…” e avermi involontariamente fatto ridere di gusto

2 punti per aver risposto esattamente al quesito A

3 punti per aver risposto esattamente al quesito B e per aver colto con esattezza la natura del paradosso con queste parole:

“Dal punto di vista degli All Stars, considerando Cristiano completamente attendibile, partendo da una affermazione vera (il test verrà fatto e sarà inaspettato), la ritengono logicamente inaccettabile ed arrivano ad una credenza giustificata (in quanto esistono motivi razionali per crederla).
In definitiva il test arriva inaspettato perché gli All Stars hanno dato per scontato (credenza razionale) che non si sarebbe tenuto.”

3 punti per aver risposto alla domanda del quesito C nel modo migliore, con una frase evocativa, pungente e canzonatoria, che qui voglio ripetere:

“Davide, ma come, non ti sei “saziato” con il solo esperimento mentale ?!?”

CLASSIFICA

Ecco la CLASSIFICA aggiornata al 12 Agosto 2010:
1° MASSIMO = 10 punti
2° CLAUDIA, ROCCO, DAVIDE = 7 punti
5° LUCA = 6 punti
6° LAURA = 4 punti
7° SARA = 3 punti
8° SIMONE = 2 punti
9° GIULIA, SERENA = 1 punto

CONCLUSIONE DEL B.T.#4

Ho ideato, scritto e postato questo Brain Training senza avere alcuna conoscenza specifica o professionale dell’argomento. Ho solo trattato qualcosa che mi piaceva, che mi aveva colpito. Mi sono appoggiato su un testo che in modo esauriente mi permettesse di scriverne. Ho cercato nel web pagine che potessero integrare, migliorare o smentire quello che stavo scrivendo. Ho fatto leva sulla mia curiosità e sulla volontà di seguire Max nel tentativo di postare dei quesiti divertenti e stimolanti.

Ma alla fine, poi, tutto è nato da un po’ di fantasia e da un po’ di passione. E io so che ciascuno di voi, cari All Stars, è un intero mondo di passioni! Verooo?